¿Sabías que…?Número 14

…el ruido eléctrico puede usarse para medir temperatura?

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En 1906 Einstein, en su estudio sobre el movimiento Browniano, fue el primero en predecir la existencia de fluctuaciones térmicas espontáneas en conductores eléctricos. Pero fue John Johnson en 1926, físico experimental que trabajaba en los famosos laboratorios Bell, quien descubrió que siempre había un nivel muy bajo de ruido en las resistencias eléctricas que no era posible eliminar, es decir, ese ruido no era debido a diseños ineficientes o defectuosos sino que era un componente intrínseco de todo conductor, lo que constituía un problema para el diseño de amplificadores de alta sensibilidad. Además, se dio cuenta de que el valor de este ruido era proporcional a la temperatura. Harry Nyquist, también físico de los laboratorios Bell, pero teórico, se mostró muy interesado en este descubrimiento y desarrolló una explicación y formulación muy elegantes en términos de la física fundamental. En el año 1928 y con pocos meses de diferencia Johnson y Nyquist publicaron sendos artículos (uno experimental [1] y otro teórico [2]) en la prestigiosa revista Physical Review.

Nyquist se basó en dos principios fundamentales de la termodinámica para formular su teoría. Por un lado en la segunda ley, que establece que el calor fluye siempre de focos calientes a fríos: ¡no podemos calentar una sopa usando cubitos de hielo! Por otro, utilizó el principio de equipartición: las moléculas en equilibrio térmico, tienen la misma energía promedio asociada a cada grado de libertad independiente de movimiento y ésta es proporcional a la temperatura. Para visualizar este principio en [3] encontramos un ejemplo muy gráfico: imaginemos una caja con muchos elefantes, muchos mosquitos y muchas moléculas que chocan unos con otros, lo que nos dice este principio es que, en equilibrio, la energía cinética media de cada una de las especies es la misma, además esta energía cinética media es proporcional a la temperatura, por lo que ¡la temperatura de los elefantes es la misma que la de las moléculas y la de los mosquitos!

Figura 1. El principio de equipartición: la temperatura de los elefantes, los mosquitos y las partículas es la misma.

Nyquist asumió que cada uno de los modos de oscilación eléctrica de una línea de transmisión, con ambos extremos en cortocircuito, era un grado de libertad del sistema formado por el campo electromagnético limitado por las condiciones de contorno impuestas por la línea de transmisión y, de acuerdo con el principio de equipartición, la energía promedio de cada modo sería \(k·T\), la mitad eléctrica y la mitad magnética. De esta forma relacionó el valor de la tensión cuadrática media \(\overline { { V }^{ 2 } }\) de una resistencia R para bajas frecuencias  (zona en la que se realizan las medidas y en la que se pueden despreciar efectos cuánticos pues \(h·v\ll k·T\)) con su temperatura como:

\(\overline { { V }^{ 2 } } \sim 4·k·T·R·\Delta v\) (1)

Este descubrimiento tuvo mucha importancia ya que, a finales del siglo XIX, la química, la cristalografía y la teoría cinética de los gases habían ofrecido suficientes evidencias para no dejar ninguna duda sobre la validez de la teoría atómica de la materia. Sin embargo, todavía existían argumentos en contra debido a la falta de evidencias directas de la realidad de los átomos. Por ejemplo, mediante la teoría cinética de los gases, usando hipótesis atómicas y los principios de la mecánica estadística, se había conseguido deducir la ecuación de estado de los gases ideales: la famosa ecuación “P·V=N·k·T”, donde N es el número de partículas y k la constante de Boltzmann definida de forma que la energía media por grado de libertad en un gas en equilibrio termodinámico a la temperatura T es k·T/2 (…el principio de equipartición de nuevo). Pero, en aquella época, nadie sabía cómo medir k o N.

El descubrimiento de Johnson y la formulación de Nyquist resultaron ser un ejemplo análogo al caso de la presión de un gas, pero en un sistema eléctrico: el voltaje cuadrático medio o “ruido” en un conductor producido por la agitación de los modos eléctricos de oscilación provocada por la agitación térmica de los portadores de corriente. Nyquist demostró cómo relacionar este ruido con los grados de libertad de oscilación en una línea de transmisión, número que es cuantificable. De esta forma, midiendo el “ruido”, era posible determinar la constante de Boltzmann. De hecho este experimento ha sido uno de los utilizados en la asignación de valores a la constante de Boltzmann para la nueva definición del kelvin.

La causa física del ruido Johnson es la radiación de cuerpo negro que se produce en el conductor. Esto explica por qué es independiente de la resistencia y sólo depende de la temperatura. Las cargas en el conductor se mueven para intentar anular las fluctuaciones eléctricas causadas por la radiación del cuerpo negro, pero la resistencia a este movimiento limita su capacidad de anular las fluctuaciones por lo que se observa una variación de potencial neta a lo largo del conductor: el ruido.

La ecuación presentada anteriormente es la base de toda la termometría de ruido, aunque no se usa directamente por las dificultades de medir el ancho de banda del termómetro, \(\Delta V\). Los termómetros de ruido miden en forma relativa, es decir, la temperatura desconocida se mide comparando el voltaje cuadrático medio a una temperatura de referencia, habitualmente el punto triple del agua, asumiendo que el ancho de banda es constante:

\(T={ T }_{ 0 }\frac { \overline { { V }_{ T }^{ 2 } } }{ \overline { { V }_{ { T }_{ 0 } }^{ 2 } } } \frac { R\left( { T }_{ 0 } \right) }{ R\left( { T } \right) } \) (2)

Esta ecuación muestra cómo un termómetro de ruido es absoluto, o primario, ya que los términos relacionados con el voltaje y la resistencia son adimensionales y no hay otros términos que dependen de la temperatura. En la figura 2 se puede ver un esquema simplificado [5].

Figura 2. Esquema simplificado de un termómetro de ruido.

Los principales problemas a los que se enfrenta la termometría de ruido son las bajas señales de medida y los largos tiempos de integración. A altas y bajas temperaturas los problemas están bastante resueltos ya que en altas temperaturas se pueden utilizar grandes señales de medida, menos sensibles a las perturbaciones, y a bajas temperaturas se utilizan como detectores superconductores (squid). En temperaturas en torno al punto triple del agua las limitaciones de los sistemas electrónicos de detección se están superando mediante el uso de patrones de tensión basados en el efecto Josephson como generadores de ruido. Gracias a ello este tipo de termómetros primarios son uno de los candidatos a poder reemplazar en un futuro a medio-largo plazo la Escala Internacional de Temperatura de 1990.

Referencias

[1] J. Johnson, Phys. Rev. 32 , 97 (1928)

[2] H. Nyquist, Phys. Rev. 32 , 110 (1928)

[3] L. Cohen. The history of Noise EEE SIGNAL PROCESSING MAGAZINE 20 NOVEMBER 2005. https://facultystaff.richmond.edu/~olipan/History%20of%20Noise%20Cohen.pdf

[4] MIT Department of Physics. Johnson Noise and Shot Noise: The Determination of the Boltzmann Constant, Absolute Zero Temperature and the Charge of the Electron  (September 3, 2013). http://web.mit.edu/8.13/www/JLExperiments/JLExp43.pdf

[5] D.R. White et al. Metrologia, 1996, 33, 325-335.

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