Trazabilidad en la verificación de tamices mediante técnicas ópticas

En este artículo se describe la calibración de un instrumento óptico para su utilización en la verificación de tamices a partir las imágenes digitales obtenidas con dicho instrumento. Se propone una función modelo para la corrección de la distorsión introducida en la imagen por la óptica del instrumento, un algoritmo para la determinación de los parámetros que describen dicha función modelo a partir de la imagen de un patrón de referencia obtenida con el instrumento óptico, y un método para la estimación de la incertidumbre de dichos parámetros y para su propagación hasta el resultado final de medida cuando el instrumento se usa para medidas de distancias punto a punto.

This article describes the calibration of an optical instrument for use in verification of sieves using digital images. Authors propose a model function for correcting the image distortion introduced by the optics, an algorithm for determining the parameters describing the model function using the image of a certified reference standard obtained with the optical instrument, a method for estimating the uncertainty of these parameters and their propagation to the final measurement result when the instrument is used for point to point distance measurements.

Introducción

En este artículo se describe la verificación dimensional de tamices de acuerdo con las normas de aplicación en España (Normas españolas UNE 7050-1 [1], UNE 7050-2 [2], UNE 7050-3 [3], UNE 7050-4 [4], UNE 7050-5 [5]) utilizando técnicas ópticas y de metrología por coordenadas.

Para estimar los parámetros geométricos que las normas exigen verificar se emplea un instrumento óptico (microscopio/lupa) combinado con una cámara fotográfica digital. Asimismo es necesario un procesado posterior de la información mediante técnicas automáticas de detección de bordes.

Habitualmente, en los microscopios de medida y en los proyectores de perfiles, la medición se realiza desplazando la pieza a medir con ayuda de una mesa de traslación XY y enrasando el punto cuyas coordenadas se desea conocer con el retículo grabado en el centro de la pantalla del instrumento. De este modo se consigue minimizar el efecto que la óptica pudiera introducir en la medida (el enrase se realiza siempre en el mismo punto de la pantalla) y la incertidumbre provendría, en su mayor parte, de las reglas a trazos utilizadas para medir los desplazamientos X e Y de la mesa.

Este procedimiento es óptimo cuando el número de mediciones a realizar es bajo, puesto que asegura una incertidumbre reducida al apoyarse en las reglas antes citadas. Ahora bien, debido a que para cada medición necesita realizarse un desplazamiento (habitualmente de forma manual), este procedimiento no es el más adecuado cuando hay que verificar un gran número de cotas. En este caso, es mucho más rápido tomar una imagen de la pieza y sobre dicha imagen realizar, con ayuda de un ordenador, todas la mediciones necesarias. En este segundo procedimiento las reglas de la mesa XY no intervienen y la mayor parte de la incertidumbre será contribución de la óptica del instrumento.

La cantidad de información que se recibe gracias a la digitalización de las imágenes hace obligado el uso de herramientas capaces de poder manejarla de forma automática y fluida. En este trabajo se ha recurrido a una popular herramienta de cálculo matricial como es MatlabÒ [6] o su clon Octave [7]. Se ha desarrollado una serie de algoritmos para el procesado de las imágenes que tienen como finalidad, en primer lugar la caracterización del instrumento de medida y en segundo lugar la posterior verificación de los tamices.

El trabajo ha requerido también una lectura de las normas sobre verificación de tamices desde un punto de vista metrológico y su interpretación en algunos casos con el fin de cubrir las lagunas existentes.

Dada la complejidad de los algoritmos utilizados, la estimación de incertidumbres se ha implementado recurriendo a técnicas matriciales de propagación de incertidumbres, de acuerdo con los procedimientos descritos en el Suplemento 2 [8] de la guía GUM de reciente publicación.

El trabajo se ha desarrollado con el objetivo de garantizar la trazabilidad de las verificaciones realizadas por un fabricante de tamices, buscando al mismo tiempo una productividad elevada. Como instrumento de medida se ha utilizado una lupa trinocular Olympus SZX16 equipada con un objetivo 3X, un zoom regulable desde 0,7X a 11,5X fijado en la posición 10X y una cámara digital OPTIKA de 5 megapíxeles (Figura 1). Su división de escala con esta configuración es de aproximadamente 1,87 μm y su área de medida de 4,8 mm × 3,6 mm.

Ahora bien, dado que las aberraciones que presenta la lupa anterior son muy bajas, se ha optado por repetir todo el proceso de calibración con un instrumento de una calidad inferior: una cámara réflex con un sensor de 17,3 mm x 13,0 mm y 12 megapíxeles equipada con un objetivo de 14 mm de distancia focal. Con esta configuración el instrumento posee una división de escala de aproximadamente 20 μm y un área de medida de 80 mm × 60 mm.

La razón por la que el trabajo se ha repetido con este instrumento de baja calidad es que las distorsiones ópticas que introduce son visibles a simple vista, por lo que los resultados del proceso de calibración pueden ser observados visualmente sin tener que recurrir a ningún tipo de análisis matemático, lo cual facilita la comprensión de las ideas básicas que han guiado el diseño de dicho proceso.

El trabajo descrito en este artículo se desarrolló como proyecto fin de máster en la primera edición del “Máster de Metrología” (2008-2010) organizado conjuntamente por el Centro Español de Metrología y la Universidad Politécnica
de Madrid.

Aberraciones en un dispositivo óptico

La formación de la imagen de una pieza en un instrumento óptico está sujeta a la aparición de diversas distorsiones que, en gran parte, se generan al atravesar la luz la óptica del instrumento. Estas distorsiones se denominan aberraciones [9,10] y pueden clasificarse en cromáticas y monocromáticas (o geométricas).

Las aberraciones cromáticas pueden ser:

• Axiales, debidas a cambios en la distancia focal del objetivo al variar la longitud de onda.
• Laterales, debidas a cambios en la amplificación del objetivo al variar la longitud de onda.

En ambos casos, se produce la aparición de “bordes coloreados” en zonas donde debería observarse una transición brusca de luz a sombra (figura 2-a), siendo más acusada esta impresión en las cercanías del perímetro exterior de la imagen, especialmente en las esquinas. Este efecto puede disminuirse significativamente trabajando con luz monocromática. Así, la anchura de la zona de transición de luz a sombra en la figura 2-a es de unos 15 píxeles cuando se trabaja con luz blanca, reduciéndose a unos 3 píxeles cuando se trabaja con luz roja (figura 2-b).

Las aberraciones monocromáticas (geométricas) pueden ser:

• Aberraciones de punto, las cuales dan lugar a que un punto nítido sobre la superficie de la pieza se transforme en la imagen en un punto borroso. Se clasifican en aberración esférica, coma, astigmatismo, y curvatura de campo.
• Distorsión, cuando una cuadrícula perfecta (figura 3-0) sobre la pieza aparece como una malla curvilínea en la imagen (figuras 3-1, 3-2 y 3-3).

Asimismo, la presencia de errores dimensionales sobre el sensor de la cámara fotográfica (fotosensores con dimensiones horizontal y vertical ligeramente diferentes, defecto de perpendicularidad entre el eje vertical y el eje horizontal de los fotosensores) y defectos de perpendicularidad respecto al eje óptico en la colocación del sensor o de la pieza pueden inducir también distorsiones geométricas en la imagen.

Las aberraciones cromáticas y las aberraciones de punto no pueden ser corregidas matemáticamente una vez obtenida la imagen. Sin embargo, las distorsiones si pueden serlo. El principal objetivo de este artículo es mostrar cómo, apoyándose en un patrón de referencia calibrado, tipo retícula, puede estimarse y corregirse dicha distorsión a través de un procedimiento que permite, en todo momento, la estimación de la incertidumbre y asegura la trazabilidad.

Modelo de corrección de calibración

El objetivo es determinar los parámetros de una función modelo vectorial  que permita obtener lecturas corregidas y trazables de las coordenadas  de un punto de la pieza a partir de las lecturas brutas  leídas directamente sobre la imagen digital generada por el instrumento de medida.

Para que las lecturas corregidas sean trazables, la estimación de los parámetros que describen la función  deberá haberse realizado apoyándose en uno o varios patrones de referencia trazables, sus incertidumbres (y sus coeficientes de correlación) deberán haber sido estimadas y deberá disponerse de un procedimiento que permita propagarlas a través de la función  y así obtener las incertidumbres de las lecturas corregidas .

Se ha utilizado una función modelo  formada por cuatro sumandos [11]:

• El vector de coordenadas brutas

  

• La corrección por distorsión lineal,

  

  , donde

  

   es una matriz de dimensión 2×2 [12].
• La corrección por defecto de perpendicularidad del sensor o la pieza, o ambos, respecto del eje óptico también denominada corrección por proyección),

  

   [13].
• La corrección por distorsión tipo tonel/cojín

  

   siendo

  

   [13].

Utilizando notación matricial, la función modelo quedaría del modo siguiente:

(1)

Durante la calibración deben estimarse los parámetros que describen dicha función y que se agruparán en el vector columna :

El resultado de la calibración debe ser un vector  que contenga las estimaciones numéricas de cada uno de los parámetros junto con una matriz de covarianzas . Las raíces cuadradas de los términos de la diagonal de esta matriz se corresponderían con las incertidumbres típicas de las componentes del vector .

Una vez calibrado el instrumento óptico, la distancia  entre dos puntos A y B se podría estimar del siguiente modo:

(2)

donde las coordenadas corregidas  y  de los puntos A y B se habrían obtenido a partir de las lecturas brutas, utilizando la expresión (1).

Para la obtención de la matriz de covarianzas  del vector  se recurrirá a reformular la expresión (1) como una expresión lineal en función del vector de parámetros  :

Finalmente, de acuerdo con lo expuesto en el suplemento 2 de la Guía GUM [8], la varianza  de la distancia , debida exclusivamente a la calibración, podría expresarse como:

(3)

donde  es el vector gradiente que recoge las derivadas parciales de la función :

Calibración del dispositivo

La calibración de la lupa Olympus se ha realizado con un patrón de vidrio, tipo rejilla, de dimensiones máximas 4,5 mm × 4,5 mm, paso 0,1 mm, calibrado por el fabricante con una incertidumbre de 0,001 mm en toda su área de trabajo (figura 4).

La calibración de la cámara réflex se ha realizado con un patrón de círculos negros grabados sobre un fondo blanco, situados sobre los nodos de una cuadrícula de dimensiones máximas 45 mm × 45 mm, paso 1 mm, calibrado en un proyector de perfiles con una incertidumbre de 0,02 mm en toda su área de trabajo.

En ambos casos, para facilitar la toma de datos, se han desarrollado herramientas que permiten la detección automática de bordes y de elementos geométricos con capacidad para discernir si se trata de cuadrados o círculos.

El procedimiento de calibración consiste en obtener una imagen digital del patrón, detectar automáticamente los elementos geométricos que lo componen, y evaluar las diferencias entre las coordenadas brutas  de los centros de dichos elementos medidas con el calibrando frente a las coordenadas certificadas . Una adecuada elección de los parámetros de calibración, debería conseguir que las diferencias entre las coordenadas brutas ya corregidas y las certificadas fueran muy pequeñas:

Así pues, por cada elemento geométrico de la imagen pueden generarse dos ecuaciones. En los ejemplos anteriores se generarían 2×45×45 = 4050 ecuaciones, número muy superior al mínimo (ocho) necesario para la obtención de los parámetros de calibración. El sistema de ecuaciones que se obtendría sería el siguiente, donde  representa el número total de elementos (círculos o cuadrados) que contiene el patrón de referencia:

Este sistema de ecuaciones es un sistema lineal y su solución, utilizando un procedimiento de ajuste por mínimos cuadrados ordinarios [14,15], es la siguiente:

con matriz de covarianzas

donde  representa el error medio cuadrático resultante después del ajuste:

siendo

La matriz de covarianzas no recoge las contribuciones debidas a la incertidumbre del patrón de referencia ni a la división de escala del calibrando, por lo que deberán añadirse posteriormente.

En la tabla 1 se muestran los resultados obtenidos al calibrar tanto la lupa como la cámara réflex. Los resultados aparecen en formato adimensional normalizado, con el fin de facilitar la comparación entre ellos. Como parámetro normalizador a se ha tomado la mitad del lado de las retículas utilizadas, valor que coincidiría con el máximo valor absoluto que podrían alcanzar las coordenadas  de los centros de los elementos si el origen del sistema de referencia coincidiera con el centro del patrón. No se han incluido los coeficientes de correlación entre ellos por falta de espacio, pero merece ser destacado que:

• Hay una fuerte correlación positiva entre las siguientes parejas de parámetros:

  

   y

  

  ;

  

   y

  

   ;

  

   y

  

   ;

  

   y

  

  .
• Hay una fuerte correlación negativa entre las siguientes parejas de parámetros:

  

  y

  

  ;

  

  y

  

  ;

  

  y

  

  .

Parámetro	Lupa trinocular	Cámara réflex
	-0,000 595 ± 0,000 049	-0,015 45±0,000 32
	-0,000 114 ± 0,000 014	+0,003 75±0,000 09
	-0,000 114 ± 0,000 014	-0,007 27±0,000 09
	+0,000 552 ± 0,000 039	-0,019 77±0,000 32
	-0,000 008 ± 0,000 041	-0,025 73±0,000 16
(1)	+0,000 625 ± 0,000 041	+0,010 78±0,000 16
(1)	+0,000 125 ± 0,000 096	+0,010 89±0,000 63
(1)	+0,000 185 ± 0,000 046	-0,001 84±0,000 30
	0,0014 mm	0,028 mm

En la figura 5a se muestra la imagen del patrón de referencia obtenida con la cámara réflex. En la figura 5b se muestra la malla que une los centros de los círculos detectados automáticamente por el software de procesamiento de imágenes. Por último, la figura 5c muestra la misma malla una vez corregidas las coordenadas brutas de los centros utilizando la expresión (1) y el vector u de los parámetros obtenidos durante la calibración.

En las figuras 5a y 5b se puede observar claramente la distorsión que introduce en la imagen la cámara réflex y cómo ésta desaparece casi totalmente después de aplicar las correcciones de calibración. En el caso de la lupa (figura 4), la distorsión no es visible a simple vista. La comparación numérica de los resultados obtenidos con la lupa muestra que el comportamiento de ésta es, al menos, un orden de magnitud mejor que la de la cámara réflex.

Estimación de incertidumbres

Aun cuando los dispositivos ópticos del tipo considerado son auténticas máquinas medidoras por coordenadas y podrían, por tanto, realizar un gran número de tareas de medida (radios de círculos y arcos, ángulos, distancias entre rectas paralelas, etc…), se va a considerar únicamente la medida de distancias punto a punto, dado que en la verificación de tamices son las únicas que se utilizan.

La expresión (2) es la función modelo que permite calcular la distancia  entre dos puntos A y B en función de las coordenadas cartesianas de ambos. Asimismo, la expresión (3) permite estimar la contribución de la calibración del instrumento a la incertidumbre de . Ahora bien, faltan aún por considerar las siguientes contribuciones:

• Incertidumbre del patrón de referencia. Se asume que todas la coordenadas del patrón de referencia han sido certificadas con la misma incertidumbre expandida

  

   (0,001 mm en el caso del patrón utilizado con la lupa y 0,02 mm en el caso del patrón utilizado con la cámara réflex, ambas para

  

  ) y que entre ellas existe una correlación muy elevada. En estas condiciones, la incertidumbre del patrón se propaga a la distancia

  

   con un coeficiente de sensibilidad prácticamente igual a la unidad.
• Repetibilidad. Se acepta que la repetibilidad observada durante la calibración va a ser muy similar a aquella que aparezca durante el uso del instrumento. Dado que la repetibilidad afecta tanto a las coordenadas del punto A como a las del punto B, el sumando

  

   aparece dos veces.
• División de escala. Se asume que la corrección por división de escala se distribuye uniformemente entre

  

   y

  

  , siendo

  

   la división de escala (muy aproximadamente 0,002 mm para la lupa y 0,02 mm para la cámara réflex). De nuevo el efecto de la división de escala aparece simultáneamente en el punto A y en el punto B. Por ello, el sumando

  

   aparece dos veces.

Asumiendo normalidad, la incertidumbre expandida de , para un factor de cobertura , sería:

El valor de la incertidumbre, como suele ser habitual, crece con el nominal de la distancia . Pero además, la posición de los puntos A y B en la imagen influye fuertemente sobre . Así, cuando ambos puntos se encuentran cerca del centro de la imagen, la incertidumbre es baja. Sin embargo, cuando se encuentran cerca del perímetro exterior de la imagen la incertidumbre crece fuertemente debido a la mayor contribución del parámetro  y sobre todo de , cuyos coeficientes de sensibilidad crecen, respectivamente, con el cubo y con la quinta potencia de la distancia de los puntos al centro de la imagen. Debido a ello, no es posible introducir una ecuación simplificada (del tipo, por ejemplo,  ) y es obligado el seguir trabajando con la expresión (4).

Verificación de la calibración

Dado que la calibración realizada es una calibración compleja que requiere de cálculos matemáticos complicados y del uso de programas informáticos, es conveniente confirmar, utilizando un procedimiento sencillo, que los resultados obtenidos son correctos. Para ello, se va utilizar el instrumento ya calibrado para medir un patrón de trazos calibrado previamente, estimándose las distancias entre trazos y sus respectivas incertidumbres según el procedimiento descrito en apartados anteriores. Los resultados así obtenidos se compararan con los contenidos en el certificado de calibración del patrón de trazos, calculándose el siguiente índice de compatibilidad:

donde  es la distancia entre trazos estimada utilizando la expresión (2) a partir de las lecturas brutas obtenidas con el instrumento óptico,  es la correspondiente incertidumbre estimada utilizando la expresión (4),  es el valor certificado para dicha distancia y  su incertidumbre. El cálculo se realiza para todas las distancias que pueden materializarse con dicho patrón. Si el número de trazos es N, entonces el número de distancias es . El proceso se repite colocando el patrón de trazos en cuatro orientaciones distintas: dos paralelas a los ejes coordenados y las dos restantes según las diagonales del área de medida.

En el caso de la lupa, se ha utilizado un patrón de trazos que cubría totalmente el área de medida (4,8 mm × 3,6 mm). Posee una división de escala de 0,05 mm y ha sido certificado con una incertidumbre expandida de 0,001 mm (). En el caso de la cámara réflex se ha utilizado un patrón de círculos alineados a lo largo de un segmento rectilíneo de 45 mm de longitud total. La separación entre centros de dos círculos consecutivos es de 1 mm y ha sido calibrado en un proyector de perfiles con una incertidumbre expandida de 0,02 mm ().

Si todo el proceso se hubiera realizado correctamente, los índices que se obtendrían deberían ser inferiores, en valor absoluto, a la unidad. Esta situación puede observarse en la figura 6, donde se han representado los índices de compatibilidad obtenidos al medir el patrón de círculos, alineado orientado según una diagonal, con la cámara réflex.

Verificación de tamices

Para facilitar al máximo el trabajo durante la verificación de tamices se han desarrollado rutinas de detección de bordes en las imágenes que permiten localizar automáticamente elementos geométricos tales como círculos y cuadrados. Utilizando éstas rutinas es posible detectar los agujeros del tamiz (cuadrados o círculos) y medir los parámetros que las normas UNE 7050-X:1997 indican que deben verificarse, los cuales son básicamente las luces w de los agujeros y las distancias p entre centros de agujeros, en el caso de tamices de chapa metálica y de láminas electroformadas. En la figura 7a se muestra la imagen original obtenida con la cámara réflex de un tamiz de chapa metálica con agujeros de 5 mm iluminando con luz roja. En la figura 7b se muestran los resultados obtenidos después de la detección automática de bordes donde cada elemento geométrico posee un color distinto. Puede observarse claramente la distorsión introducida por el objetivo fotográfico.

En las figura 8a ya se ha aplicado la corrección de calibración del instrumento y puede observarse que la distorsión casi ha desaparecido en su totalidad, especialmente en la zona central de la imagen (figura 8b) que es aquella donde el instrumento fue calibrado (área de medida de 45 mm × 45 mm) y es la que se utilizará para realizar mediciones. Asimismo, la rutina de detección automática de cuadrados ha eliminado el resto de elementos geométricos que aparecían en la figura y ha numerado los cuadrados que van a ser verificados.

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La norma UNE‑7050-4:1997 establece que “las tolerancias de las luces w [..] se aplican a las mediatrices en las aberturas cuadradas y a los diámetros en las aberturas redondas“. En el caso de cuadrados y círculos perfectos o, incluso en el caso de paralelogramos o elipses, las mediatrices están correctamente definidas y su medición podría llevarse a cabo sin mayor problema. Sin embargo, cuando se trata de un elemento geométrico real con un cierto defecto de forma (ver figura 9) no es tan simple el interpretar qué se entiende por “mediatriz”.

Quizá una persona si pueda realizar esa interpretación, pero a la hora de escribir una rutina informática es necesario utilizar un criterio matemático. En este caso, los autores han optado por determinar el circulo inscrito de mayor diámetro (para lo que también ha sido necesario desarrollar el correspondiente algoritmo) y considerar que el diámetro de dicho círculo es la magnitud que debe cumplir con la especificaciones que la norma fija a las luces w. En la figura 9 puede observarse la posición del mayor círculo inscrito y cómo éste es tangente al borde de la abertura en tres puntos.

Una vez determinado el mayor círculo inscrito es fácil también determinar la distancia entre aberturas contiguas, que se correspondería con la distancia entre los centros de los respectivos círculos inscritos. De nuevo, si no se recurriera a los círculos inscritos no sería sencillo determinar la distancia entre centros de elementos geométricos que difirieran significativamente de círculos o cuadrados perfectos.

Para la determinación de la incertidumbre  de las medidas p de distancias entre centros se utiliza la expresión (4). Para el cálculo de la incertidumbre  de las luces se calcularán dos incertidumbres: la correspondiente a la distancia entre dos puntos del círculo inscrito situados en posiciones diametralmente opuestas en dirección vertical y la correspondiente a otra pareja de puntos idéntica pero situada en dirección horizontal. Si hubiera diferencias entre ambas incertidumbres se tomará como  la media de ambas.

En el ejemplo de las figuras 7, 8 y 9, tanto las incertidumbres de las luces  como las incertidumbres de las distancias entre centros  han resultado ser del orden de 0,08 mm. Para un tamiz como el verificado, la norma UNE‑7050-4:1997 especifica una tolerancia de ±0,13 mm para las luces (para las distancias entre centros el intervalo de tolerancia es más de diez veces mayor). Por tanto, la relación tolerancia/incertidumbre¹ es de tan solo (2×0,13)/(2×0,08) = 1,6 cuando lo recomendable es que se encontrara comprendida entre 3 y 10. Esta situación conduciría a que, quizá para un número significativo de tamices que realmente son conformes con la norma, no pudiera declararse conformidad, dado que para poder hacerlo [16], el intervalo de tolerancia debe recubrir completamente al intervalo de incertidumbre, lo cual no es fácil dada la longitud relativamente grande del último respecto del primero. Este resultado es en cierta manera lógico, ya que una cámara réflex no es un instrumento de medida y era de esperar desde el principio que las incertidumbres obtenidas fueran altas.

En el caso de la lupa trinocular de la figura 1, las incertidumbres  y  para un tamiz como el verificado son ambas de 4 μm. En este caso, para las luces, la relación tolerancia/incertidumbre habría subido ya por encima de 3, valor mínimo recomendado.

En la tabla 2 se han representado los resultados más desfavorables respecto de las especificaciones de la norma correspondientes a las aberturas de la figura 8b (zona central de la imagen). Dado que existen intervalos de incertidumbre que no son recubiertos completamente por sus respectivos intervalos de tolerancia (los valores menor y mayor de las luces y el mayor valor de la distancia entre centros), el tamiz verificado no puede declarase conforme.

	Luces, w	Distancias entre centros, p
Menor valor observado	( 3,71 ± 0,08 ) mm	( 5,80 ± 0,08 ) mm
Mayor valor observado	( 4,07 ± 0,08 ) mm	( 6,75 ± 0,08 ) mm
Límite superior especificado por la norma	4,13 mm	6,7 mm
Límite inferior especificado por la norma	3,87 mm	4,9 mm