Los medidores de Coriolis: una opción para la medición dinámica de volumen en la logística de hidrocarburos líquidos

1.Introducción

Dentro de la logística de hidrocarburos, la transferencia de custodia requiere medidas exactas de volumen que deben someterse a los requerimientos de la metrología legal y el control metrológico del Estado [1]. Tradicionalmente, la medida de productos petrolíferos refinados (gasolinas, gasóleos y querosenos de aviación) se ha venido realizando con caudalímetros de turbina y medidores volumétricos de desplazamiento positivo. Estos últimos, concretamente, son los medidores dinámicos de mayor calidad metrológica [2].

Actualmente el mercado ofrece otras alternativas basadas en principios de operación que no necesitan elementos mecánicos interpuestos en el flujo y que, sobre el papel, podrían cumplir las tolerancias legales que se requieren para la transferencia de custodia. Básicamente existen dos grandes familias de nuevos equipos: los medidores volumétricos de ultrasonidos [3] y los medidores másicos de efecto Coriolis [4]. Estos nuevos equipos ya disponen de la correspondiente certificación de metrología legal que les habilita para la transferencia de custodia, aunque están más tecnificados y disponen de una serie de características avanzadas que hacen más compleja la configuración de sus parámetros respecto a los medidores clásicos.

En los últimos años, los medidores de Coriolis (MC), caudalímetros másicos basados en el efecto Coriolis, han conseguido avanzar en sus prestaciones metrológicas [5, 6] y se postulan como una alternativa razonable para la transferencia de custodia. Estos medidores son másicos pero, por ahora, muchas operaciones de transferencia de custodia requieren la medida del volumen neto (volumen a cierta temperatura de referencia); y, por tanto, no es viable utilizar los MC midiendo solamente masa. Aunque debe tenerse en cuenta la gran simplificación en la instrumentación que ello comportaría, ya que no se requeriría medir ni densidad ni temperatura. Sin embargo, los MC actuales sí pueden utilizarse como medidores de volumen neto, porque cuentan con instrumental complementario para medir densidad y temperatura, aparte de disponer ya de origen de computador de caudal. En los balances de volúmenes netos realizados con estos equipos, debe controlarse -además de la temperatura- la medida de la densidad, dado que el volumen indicado por el MC es un volumen calculado y, sobre dicho cálculo, influye la densidad de manera directa.

En el presente trabajo se estudian las propiedades metrológicas de los MC como medidores volumétricos, con objeto de establecer si son comparables con los sistemas tradicionales. Además, dada la complicación del funcionamiento del MC [7, 8], se desarrolla un modelo físico simplificado orientado a identificar las principales magnitudes de influencia y fuentes de incertidumbre que actúan sobre las medidas, aparte de dar una guía clara sobre el fundamento del principio de medida.

2. Medidores de Coriolis de tubo recto: modelo de medida

Antes de proceder a un estudio analítico, conviene establecer claramente la geometría del medidor de Coriolis, que se va a suponer -sin pérdida de generalidad- de tubo recto, tal y como se muestra en la Fig. 1. El tubo vibrante está empotrado por los dos extremos. Los acelerómetros (color verde) están situados en las posiciones x₁ y x₂; la distancia entre ellos es δx = s; el actuador electromagnético (color azul), en el centro, aplica una fuerza F_ext(t); y L es la longitud nominal del tubo. Por causa del actuador electromagnético, el tubo se dobla, apareciendo en consecuencia un momento flector M_fl que, por la teoría de vibraciones de vigas, sabemos que es una función de la rigidez, de la geometría y de la curvatura del tubo. La rigidez viene dada por el módulo de Young, E.

Tomando como referencia la Fig. 1, sea un punto (x,z) del fluido y sea θla inclinación del tubo en (x,z) respecto al eje x. Claramente la ecuación para la velocidad será:

\(\textbf{v}=(v\cos \theta ) \textbf{i}+\left( v\sin \theta +{ \frac { \partial z }{ \partial t } } \right) \textbf{k}\)

donde i y k son los vectores unitarios de los ejes x y z, respectivamente. El término con la derivada parcial se debe a que el punto del fluido también vibra en el eje z. El ángulo θ se debe a la vibración, y debe ser muy pequeño, de manera que el seno se confunde con el ángulo y el coseno es prácticamente la unidad. Por otra parte: θ=z’( x,t) , donde la prima indica la derivada parcial respecto de z. Empleando el punto para la derivada parcial respecto del tiempo, la ecuación (1) resulta v=vi+(vz’+ ż)k. Como v se supone constante, la aceleración sólo tendrá componente z,y teniendo en cuenta que z=z(x,t), dicha componente será:

\({ a }_{ z }=v\left( { z }^{ ” }v+\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial t\partial x } \right) +\left( \ddot { z } +v\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial x\partial t } \right) ={ v }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { x }^{ 2 } } +2v\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { x }\partial t } +\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { t }^{ 2 } } \)

El fluido ejerce una fuerza sobre el tubo donde se encuentra el acelerómetro. Se debe distinguir entre la masa del tubo m_t por unidad de longitud, y la masa del fluido m_f por unidad de longitud. En estas condiciones, el balance de fuerzas sobre el tubo es:

\({ m }_\textrm{ t }\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { t }^{ 2 } } =-EI\frac { { \partial }^{ 4 }z }{ \partial { x }^{ 4 } } -{ m }_\textrm{ f }\left( { v }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { x }^{ 2 } } +2v\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial x\partial t } +\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { t }^{ 2 } } \right) +{ F }_\textrm{ ext }(t)\)

Donde el primer término del segundo miembro es la fuerza elástica por unidad de longitud asociada al momento flector; y, por tanto, E es el módulo de rigidez (módulo de Young) e I el momento de inercia geométrico. La F_ext se refiere al actuador electromagnético que mantiene las vibraciones. Para nuestros fines es suficiente suponer que es un impulso y que sólo afecta a las condiciones iniciales. El término de la derivada cruzada es el término de Coriolis. Si hacemos m la masa total, por unidad de longitud, entonces la ecuación a resolver es:

\(EI\frac { { \partial }^{ 4 }z }{ \partial { x }^{ 4 } } +m\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { t }^{ 2 } } + { m }_\textrm{ f }\left( { v }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { x }^{ 2 } } +2v\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial x\partial t } \right) =0\)

Las condiciones de contorno para resolver la ecuación (4) son z(0, t) = z(L, T) y ż(0,t)=ż(L, t)=0. Cuando la velocidad del fluido es nula, la ecuación (4) se reduce a la ecuación de Euler-Bernouilli para la vibración de una viga.

En la ecuación (4) es fácil ver que el valor del término dev² dividido por el término cruzado de Coriolis da un resultado del orden de la mitad del cociente entre el periodo de las oscilaciones del tubo y el tiempo de tránsito del fluido en el tubo. Como éste es mucho más grande que aquél, se puede despreciar en la ecuación (4) el término dev² frente al término de Coriolis. Si en la ecuación resultante se compara el término cruzado de Coriolis con el término de la derivada cuarta (fuerza elástica), se observa que el término de Coriolis se puede interpretar como una perturbación al movimiento regido por la ecuación de Euler-Bernouilli.

Otra simplificación que puede hacerse es reducir el orden del término elástico aplicando la relación ∂⁴/∂x⁴=-(π²/L²)z”, ya que esto se cumple para la solución particular A cos(ωt) sen (πx/L), siendo ω la frecuencia angular de resonancia del tubo si no hay flujo. Esta última simplificación es válida porque no afecta a la fase de la solución. De las consideraciones anteriores se deduce la siguiente ecuación de movimiento simplificada:

\(-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } EI\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial x^{ 2 } } +{ m }\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { t }^{ 2 } } +2{ m }_\textrm{ f }v\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial x\partial t } =0\)

Si se define la magnitud v²₀   (con dimensiones velocidad al cuadrado) como el cociente entre π²EI y mL², y también se define la magnitud adimensional η=m_f/m(η<1), la solución de la ecuación (5) tendrá la forma: z(x,t)=F(x-c₂t)+G(x+c₁t); dondec₁ y c₂ dos constantes diferentes con dimensiones de velocidad que se calculan resolviendo el sistema de ecuaciones:

>\((1/{ c }_{ 2 })-(1/{ c }_{ 1 })=2\eta v/{ v }_{ 0 }^{ 2 };{ c }_{ 1 }{ c }_{ 2 }={ v }_{ 0 }^{ 2 }\)

Esto se interpreta como que se transmiten dos ondas con dos velocidades diferentes y, por eso, se desfasan las señales de los acelerómetros; siendo justamente el término de Coriolis el responsable del desfase.

Supóngase una excitación armónica y sea x₁ la posición del acelerómetro 1; y x₂, la del 2; ambos a igual distancia de los extremos. En el 1, el máximo de la onda sucede en el instante t₂, dado por x₁–c₂t₂=L/2. Para la otra onda, en el 2, el máximo sucede en el instantet₁ dado por x₂–c₁t₁=L/2. Definiendo el desfase como la diferencia de tiempos δt=|t₁–t₂|, se obtiene finalmente que δt=δxηv/v²₀ , donde δx=x₂–x₁.

Si en la expresión anterior para ∂t se aplican las definiciones de η y v₀, se sustituye m_fv por el caudal másico Q , y se despeja éste en función de ∂t , se obtiene el modelo de medición:

\(Q=\frac { { \pi }^{ 2 }EI }{ { L }^{ 2 }\delta x } \delta t\)

Según este modelo, la medida del caudal másico es proporcional al desfase registrado entre los acelerómetros. La constante de proporcionalidad depende de la geometría (I, L) y la elasticidad (E) del tubo, y de la posición relativa de los acelerómetros (∂t). Por tanto, se deduce que la principal magnitud de influencia es la temperatura, porque puede afectar tanto a los términos geométricos (I, L, ∂t) como al módulo E. Ni la viscosidad ni la presión del fluido influyen al nivel de aproximación del modelo (6). En principio, la constante del medidor es independiente del tipo de fluido y del rango de caudal.

3.Calibración del medidor de Coriolis

Para el presente trabajo se realizaron diferentes pruebas en septiembre de 2015 con un MC comercial de 101,6 mm de diámetro (“cuatro pulgadas” según la especificación del fabricante):

• Calibración simultánea del MC y de un medidor de desplazamiento positivo patrón (MDPP) contra una vasija patrón de 5 000 L, empleando queroseno de aviación (JET A-1) y gasóleo C (GOC) como fluidos de trabajo (Fig. 2).
• Calibración del MC contra un MDPP, mientras el MDPP era calibrado a su vez contra un probador bidireccional (prover) de 2 800 L, empleando también JET A-1 y GOC.
• Calibración del MC contra el prover (empleando GOC) para comparar resultados con la calibración realizada por el fabricante del MC empleando agua y patrones másicos.

La calibración de un MC, o de un MDPP, consiste en medir un volumen de referencia proveniente de la vasija patrón, o del prover, y compararlo con la indicación del calibrando. Como resultados de la calibración se pueden obtener:

• El error -relativo en %- del equipo: la diferencia entre la indicación y el volumen de referencia dividida entre ésta.
• El factor de corrección (MF) del equipo: cociente entre el volumen de referencia y la indicación del equipo.

Las calibraciones del MC contra la vasija y el MDPP demostraron que la repetibilidad, linealidad y sensibilidad al cambio de producto estaban de acuerdo -salvo alguna ligera desviación- con los requerimientos de metrología legal para la transferencia de custodia en la logística de hidrocarburos. Asimismo, al calibrar el MC contra el prover no se registraron desviaciones estadísticamente significativas con los resultados del fabricante, resultando positiva la intercomparación.

La calibración simultánea de un MC y un MDPP contra la vasija patrón sirve para comparar el error del MC con el de un equipo cuya fiabilidad metrológica está bien establecida [2]. La simultaneidad permite eliminar posibles fuentes de error o incertidumbres adicionales asociadas a la reproducibilidad del sistema de calibración. Se hicieron varias calibraciones: empleando GOC (a 50 y 60 m³/h, nominales) y JET A-1 (a 50, 60 y 70 m³/h, nominales).

Atendiendo a los resultados del equipo ensayado, el error del MC presenta valores que fluctúan dentro de 0,1%, o bien, valores sistemáticamente positivos entre 0,10 % y 0,20 %; lo que garantiza el cumplimiento de las tolerancias legales. Los valores anteriores implican que el MF será menor que la unidad cuando su desviación sea significativa.

4.Variación del MF con el caudal

Los resultados de la intercomparación con el fabricante permiten caracterizar el comportamiento del MF del MC frente a las variaciones de caudal. En los medidores convencionales de desplazamiento positivo, el MF crece linealmente con el caudal en el rango de calibración del presente estudio [2]. Dicho resultado refleja el hecho de que el error por “slippage” crece con el caudal en dicho rango. En el caso del MC, lo que se observa es una relación lineal, pero de sentido opuesto: el MF del MC disminuye al aumentar el caudal en el rango de 50 a 160 m³/h, según se observa en la Fig. 3, donde el MF #1 es el obtenido por los autores y el #2, el del fabricante. El MF #1 se obtuvo mediante calibración volumétrica contra un prover empleando GOC; mientras que el MF #2, se obtuvo mediante calibración másica con agua.

En cuanto a la correlación lineal (véase MF #1 en la Fig. 3), el coeficienteR² es 0,901 8 y el coeficiente de caudal 0,000 01 h/m³ (0,001 % h m³), que debe tomarse con signo negativo. Es decir, un aumento de 10 m³/h comporta una disminución del 0,01 % del MF. Esta tendencia se corrobora con los resultados del fabricante (véase MF #2 en la Fig. 3): el coeficienteR² es 0,908 6 y el coeficiente de caudal negativo de valor 6 10^-6h/m³ (0,000 6 % h/m³). Además, la existencia de una tendencia lineal con un coeficiente de correlación tan alto indica que entre los resultados #1 y #2 existe una desviación de carácter sistemático (sesgo entre laboratorios cuantificable correlacionando linealmente #1 y #2), pero compatible con los criterios de aceptación de la intercomparación.

5.Variación del factor de corrección con la temperatura

Para caracterizar el efecto de la temperatura sobre el MF del MC, se han tomado los resultados de todas las calibraciones (contra la vasija, el MDPP y el prover) realizadas con JET-A1 y GOC, y también, los resultados de la calibración de fábrica. Dado que en el epígrafe anterior se ha observado cierta dependencia del MF con el caudal, los datos se han separado agrupándolos por caudales.

Al representar el MF en función de la temperatura para los caudales nominales 90 m³/h, 130 m³/h y 165 m³/h, se observa que el MF decrece con la temperatura siguiendo una tendencia lineal. Para 60 m³/h, el coeficiente de correlación lineal es muy bajo (R² inferior a 0,4); y, más que tendencia, habría que decir que se observa cierta correlación estadística (Fig. 4, Caudal nominal 60 m³/h).

Para 90 m³/h,R² es 0,8, redondeando una cifra significativa (Fig. 4, Caudal nominal 90 m³/h). Y para 130 m³/h y 165 m³/h,R² ya es superior a 0,9 (Fig. 4, Caudal nominal 130 m³/h y Caudal nominal 165 m³/h). Además, para 90 m³/h, 130 m³/h y 165 m³/h, se obtiene un mismo coeficiente de temperatura: 0,000 3 ºC^-1 (0,03 % ºC^-1), que debe tomarse con signo negativo. (Para 60 m³/h el coeficiente es 0,02 % ºC^-1, ya cercano a 0,03 % ºC^-1.)

6. Conclusiones

Se ha desarrollado un modelo físico simplificado del funcionamiento de los medidores de Coriolis. Se han aplicado simplificaciones físicamente plausibles para rebajar la complejidad matemática y obtener un modelo que aclare el principio de medida y permita identificar las magnitudes de influencia y las posibles fuentes de incertidumbre que actúan sobre las medidas de este equipo. Sin pérdida de generalidad, el modelo se ha desarrollado para medidores de tubo recto.

Se ha estudiado el comportamiento metrológico del medidor de Coriolis como medidor volumétrico, tomando los resultados empíricos procedentes de diferentes calibraciones de un mismo equipo comercial realizadas contra una vasija patrón de 5 000 L y contra un probador bidireccional de 2 800 L. También se ha realizado, con éxito, una intercomparación con el fabricante del equipo. Se observa que las desviaciones significativas del MF van hacia valores menores que la unidad. En cualquier caso, los errores asociados a dichas desviaciones cumplen las tolerancias legales exigidas actualmente a estos medidores.

El MF del medidor de Coriolis disminuye con el caudal, si la temperatura se mantiene constante; y presenta tendencia a disminuir con la temperatura, si el caudal se mantiene constante. La correlación del MF con el caudal es lineal. La correlación del MF con la temperatura se aproxima más a una dependencia lineal a medida que aumenta el caudal de operación. Estas correlaciones han permitido estimar los coeficientes de temperatura y caudal del equipo: 0,03 % ºC^-1 y 0,001 % h/m³, respectivamente.

Se concluye que el medidor que concretamente se ha probado ha tenido resultados aceptables, desde el punto de vista de exactitud, y que es apto para usarse en aplicaciones de transferencia de custodia, si se instala en las condiciones adecuadas. En el futuro será interesante ver cómo se comportan con el uso durante la medición in situ ante los diferentes fenómenos que se dan en operación y que pueden afectar a su funcionamiento.