Patrón cuántico de presión en el Centro Español de Metrología

Juan Antonio García Berzosa, Carmen García Izquierdo, Jesús Marcos Torero
Área de masa y magnitudes mecánicas. Centro Español de Metrología.

1. Introducción

La metrología de la magnitud presión se divide en dos campos, la presión propiamente dicha y el vacío. En el campo de presión los patrones son puramente mecánicos y están basados en la definición de presión como fuerza por unidad de superficie: son las balanzas de pesos muertos y las columnas de líquido, que se basan en el experimento de Torricelli. El CEM ya posee una demostrada experiencia en dichos patrones, disponiendo de capacidades de medida hasta 10⁸ Pa (reconocidas en el MRA, https://www.bipm.org/kcdb/cmc/advanced-search?area=4). En el campo del vacío los patrones primarios están basados en la determinación del número de moléculas de un gas que se fundamentan en leyes termodinámicas y de mecánica de fluidos. El CEM también posee una dilatada experiencia en este campo, en donde dispone de capacidades de medida hasta 10^-4 Pa (reconocidas en el MRA, https://www.bipm.org/kcdb/cmc/advanced-search?area=4). Los diseños, rangos de medida e incertidumbres asociadas de estos patrones se han mantenido prácticamente sin cambios durante las últimas décadas, con el agravante de que están desapareciendo los fabricantes de algunos de los sistemas pistón-cilindro de la más alta calidad metrológica y en lo referente a los manómetros de mercurio, estos basan su funcionamiento en una sustancia muy problemática desde un punto de vista medioambiental.

En la revisión del Sistema Internacional en mayo de 2019, donde se eliminó la incertidumbre de la constante de Boltzmann, se abrieron las puertas a la realización de patrones fundamentados en la interacción luz-materia, en particular, los efectos basados en refractometría adquirieron un gran potencial para ser utilizados como materialización de diferentes unidades de medida. Aquí surge la motivación de la serie de proyectos Quantum-Pascal cuyo objetivo final es materializar la unidad de presión a partir de medidas del índice de refracción de un gas. En el caso aquí descrito, se aplica la refractometría en cavidades Fabry-Pérot en el rango (1 Pa – 1 MPa) y utilizando nitrógeno.

Desarrollar un patrón primario de presión basado en medidas de frecuencia es un desafío. La metrología cuántica basada en la interacción entre luz y materia nos ofrece una posibilidad muy interesante para lograrlo, ya que la velocidad de la luz depende de la densidad del medio en el que viaja, basada en la relación entre el número de moléculas de un gas, el índice de refracción y la temperatura de dicho gas. La presión de un gas alojado en una cavidad se determina a partir del índice de refracción de dicho gas, evaluado mediante la variación del camino óptico recorrido por un haz láser estabilizado en frecuencia en dicha cavidad, siendo la longitud y la temperatura de la cavidad conocidas e invariables. Esta materialización de la unidad de presión permite eliminar la dependencia de los sistemas mecánicos actuales y cuantificar, en términos de incertidumbre, las limitaciones de las actuales balanzas de presión, las cuales están ampliamente implementadas en la red de laboratorios acreditados.

La base para utilizar refractometría como método para determinar la presión reside en que la unidad de presión, fuerza por área (N/m²), puede interpretarse alternativamente como densidad de energía (J/m³) ya que fuerza y energía se relacionan mediante la expresión (N · m = J). Esto permite una descripción termodinámica del pascal, basada en una ecuación de estado de un gas, que, para un gas ideal, es p = RTρ, donde R = k_BN_A es la constante del gas ideal, T es la temperatura y ρ la densidad molar del gas. Para un gas ideal, la densidad molar puede relacionarse con el índice de refracción del gas mediante la ecuación de Lorentz-Lorenz, a través de la denominada polarizabilidad molar, y el índice de refracción, a su vez, puede medirse con alta precisión por fenómenos ópticos, abriendo una puerta hacia una descripción óptica del Pascal.

2. Estado del arte

A continuación, se describe detalladamente como se puede evaluar la presión de un gas alojado en el interior de la cavidad mediante refractometría de Fabry-Pérot. Una cavidad Fabry-Pérot es un dispositivo óptico formado por dos espejos paralelos y semirreflectantes que encierran un gas. Cuando un haz de luz incide sobre el uno de los espejos, parte se transmite y parte se refleja. La luz transmitida al interior de la cavidad rebota en los espejos del dispositivo y los múltiples haces luminosos resultantes interfieren entre sí. Solo los haces de luz con longitudes de onda que cumplen con la condición de resonancia (la distancia entre espejos equivale a un múltiplo entero de medias longitudes de onda) logran interferencia constructiva, creando picos de alta transmisión. La frecuencia de la interferencia constructiva depende del índice de refracción del medio por el que se propaga, por lo que midiendo la frecuencia se puede determinar el índice de refracción de gas. Por medio de las ecuaciones de Lorentz-Lorenz, de la polarizabilidad molar, de la ecuación de estado y midiendo la temperatura del gas, se puede determinar la presión de dicho gas [1]. Ahora bien, como la medida absoluta de frecuencias presenta dificultades, se suele utilizar la variación de frecuencia del modo interferencial constructivo con la presión de dicho gas. Otra opción es utilizar dos cavidades Fabry-Pérot, una se mantiene a una presión de referencia, normalmente el vacío n = 1, mientras que en la otra se va variando la presión del gas. La variación de presión de dicho gas se evalúa a partir del cambio de la diferencia de frecuencias (frecuencia de batido) de los modos constructivos generados en las dos cavidades. Si esta frecuencia de batido está en el dominio de la radiofrecuencia se puede medir de forma sencilla con un fotodetector o un contador de frecuencias.

Las frecuencias del modo interferencial en la cavidad de medida, \(\nu_m\), y en la cavidad de referencia, \(\nu_r\), vienen descritas en las ecuaciones (1) y (2), mientras que la ecuación (3) es la diferencia de frecuencias o frecuencia de batido,

Los modos interferenciales constructivos se generan mediante láseres sintonizables, normalmente láseres de diodo, bloqueados a la frecuencia adecuada para que en las cavidades Fabry-Pérot se generen los modos interferenciales buscados. Es muy importante sintonizar y bloquear los láseres a los modos fundamentales de la cavidad, TEM_00, ya que son los que presentan la mayor transmisión y por lo tanto, la mayor señal para el bloqueo del láser.

Al llenar la cavidad de medida con un gas, cuya presión se desea determinar, el sistema Cavidad Fabry-Pérot dual pasa de un estado (0) (idealmente vacío) a otro (1), este hecho cambia la frecuencia de batido

La ecuación (4) implica que, para una cavidad ideal, la refractividad puede expresarse:

El láser asociado a la cavidad Fabry-Pérot de medida sigue el desplazamiento de frecuencia generado mediante el llenado de la cavidad de medida con gas. Ahora bien, el láser no tiene suficiente rango de escaneo para seguir indefinidamente el desplazamiento de frecuencia del modo interferencial generado en la cavidad de medida en condiciones de vacío, \(q_{m}\), y cuando llega su límite, el láser debe ser re-sintonizado y bloqueado a otro modo longitudinal. Este hecho se denomina salto de modo, \(\Delta q_{m}\), que contribuye al desplazamiento de la frecuencia (ecuación 6) y a la refractividad (ecuación 7).

Lo anteriormente expuesto es válido en el caso ideal. Al considerar una cavidad Fabry-Pérot real es necesario tener en cuenta una serie de factores adicionales: (a) deformación de la cavidad por la presión, (b) la penetración de los espejos y (c) la fase de Gouy.

En primer lugar, la deformación es un cambio físico en la cavidad debida a la presión del gas alojado en la cavidad, que afecta a la condición de resonancia. La refractividad puede expresarse como:

donde se ha introducido ε’ como la refractividad relativa normalizada de la elongación de la longitud de la cavidad debido a la presencia del gas y que se puede definir como \(\frac{\delta L}{L_0}\frac{1}{n-1}\) [2]

La penetración de los espejos, \(\gamma’_s\), es un concepto que considera la situación en la que el espejo puede presentar los recubrimientos reflejantes de distintas profundidades de los espejos, cambiando por tanto la longitud de la cavidad y produciendo diferentes desfases en la trayectoria del haz. La formulación matemática de la longitud de penetración está expresada en la fórmula 9, donde \(\nu_0\) es la frecuencia del modo fundamental en condiciones de referencia (vacío), \(\nu_{FSR}\) es el rango espectral medio, \(\vartheta_G\) es la fase de Guoy y \(m_0\) es el modo en condiciones de referencia (vacío)

Finalmente, la fase de Gouy,  es el efecto debido al debido al cambio de la curvatura del frente de onda con su propagación, modificando su carácter gaussiano. Estos cambios de curvatura introducen un desfase que se acumula al ir cambiando la curvatura del frente de ondas. La fase de Gouy depende de las propiedades geométricas de la cavidad, cuya expresión matemática es:

donde \(L\) es la longitud de la cavidad y \(R\) el radio de curvatura de los espejos.

Tras introducir todos estos factores, la expresión matemática de la refractividad quedaría [3], [4] y [5] según lo indicado en (11) :

Una vez obtenida la refractividad se puede calcular la densidad del gas utilizando la ecuación de Lorentz-Lorenz, dada por [3], [4] y [5]:

donde \(n\) es el índice de refracción de un gas cuya densidad es \(\rho\), la polarizabilidad molar es \(\alpha\) y la susceptibilidad magnética es \(\chi\). \(N_A\) es la constante de Avogadro y \(\varepsilon_0\) la permitividad del vacío [6] y [7]. En el caso de gases reales, se expande la expresión de Lorentz-Lorenz en serie de potencias.

Para obtener la presión, \(P\), a partir de la ya evaluada densidad, \(\rho\), se utiliza una ecuación de estado cuya expresión es:

Donde \(R\) es la constante universal de los gases y \(T\) la temperatura del gas y \(B_\rho\), \(C_\rho\), …, son los coeficientes del virial para presión [6] [7].

3. Sistema implementado en el CEM

Actualmente el CEM cuenta con dos cavidades Fabry-Pérot cilíndricas e iguales, una de las cuáles actúa como cavidad de referencia (donde la presión se mantiene constante) mientras que en la otra cavidad se va variando la presión del gas (nitrógeno). Ambas cavidades están fabricadas de un material denominado Nexcera, una cerámica policristalina de gran dureza y con mínima deformación debido a variaciones de presión y temperatura. En los extremos de cada una de las cavidades se encuentran unidos dos espejos plano-convexos de Clearceram Z.

Cada una de las cavidades se aloja en el interior de una cámara de cobre cuya misión es optimizar la estabilidad térmica de la cavidad. Además, ambos alojadores de cobre junto con parte de la óptica del experimento se ubican en un recinto cúbico controlado térmicamente. La temperatura de este recinto y de los alojadores de cobre se regula mediante un sistema avanzado de control que incluye un software específicamente diseñado a tal fin.  

El calentamiento del sistema completo se lleva a cabo mediante resistencias térmicas adosadas a los alojadores de cobre y al recinto cúbico en el que se encuentran las cavidades, lo que permite una estabilidad térmica de las cavidades inferior a 10 mK. El sistema de regulación de temperatura se plantea en forma de estabilización paulatina en etapas, incrementando y estabilizando a la temperatura de fuera a dentro entre la temperatura ambiente del laboratorio hasta las cavidades de Fabry-Pérot que deben estar a la temperatura del punto de fusión del galio (29,7646 °C). Se utilizan termómetros Pt-100 como controladores y conectados al controlador de temperatura que se trata de un conjunto robusto diseñado para el control de hasta 12 lazos ampliables, con múltiples opciones de comunicación, entradas de señal escalable, dispositivo de supervisión de corriente calefactora, salidas de alarma, etc. La temperatura del gas se determina mediante termómetros de cápsula de 25 ohmios calibrados en los puntos fijos del galio y del agua.

Además, también son necesarios sistemas precisos de generación y control de la presión del gas a incluir en la cavidad de medida, así como de las presiones mínimas alcanzables tanto en la cavidad de medida como en la de referencia. Estas presiones mínimas de referencia se alcanzan mediante bombas turbomoleculares con sus respectivas bombas primarias. En el experimento, se distinguen dos zonas, por un lado, la zona de vacío (Vv en la figura 1) y, por otro lado, la zona de presión (Vp en la figura 1). Esta zona de presión, a su vez, se divide en dos subsistemas, uno para bajas presiones o vacío donde se utiliza un controlador de flujo de masa (MFC) y para presiones generadas en el rango de 2 Pa a 10 kPa. El otro subsistema para el rango de presión de (10-300) kPa se utiliza una balanza de presión, con un sistema pistón-cilindro, como estabilizador de las presiones generadas en la cavidad de medida.

Independientemente del circuito con el que se esté trabajando el gas llega a la cavidad de medida y ahí la presión se calcula haciendo uso de las ecuaciones mencionadas anteriormente. Cabe destacar que estos circuitos están ideados de forma que se puede aislar un circuito de otro e incluso ambos se pueden aislar del recinto donde se encuentran las cavidades mediante diferentes llaves y válvulas, pudiendo así evitar que un flujo de gas no deseado pueda entrar en las cavidades o incluso que éstas mismas queden expuestas al ambiente pudiendo generar en ellas algún tipo de contaminación difícil de erradicar.

En cuanto a la parte óptica del sistema (figura 2, figura 3 y figura 4) consiste en dos láseres de diodo de 633 nm controlados por un equipo y software de la marca de los láseres. Los haces que emiten ambos láseres se propagan en fibras ópticas. Cada uno de los haces se divide en dos, la mitad del haz se conduce hacia la cavidad Fabry-Pérot y la otra mitad es la que se utiliza para batir frecuencias. Antes de entrar a la cavidad, los láseres pasan por un conjunto de espejos y un colimador que focalizan el haz láser en el centro de la cavidad Fabry-Pérot. El haz transmitido que sale de la cavidad Fabry-Pérot se divide de forma que parte del haz de salida se dirige hacia un fotodetector que nos muestra lo que ocurre dentro de la cavidad mediante un espectro de transmisión y la otra parte del haz se dirige hacia una cámara mediante la cual se puede observar el modo de refracción que acontece dentro de la cavidad. Es importante mencionar la necesidad de realizar una alineación muy precisa para obtener el modo fundamental, TEM₀₀, en cada una de las cavidades Fabry-Pérot.

Una vez que los dos láseres están sintonizados y bloqueados a la frecuencia adecuada para que en ambas cavidades se generen modos fundamentales, ambas frecuencias se baten para calcular la diferencia de frecuencias entre ambos haces.  La señal de batido se divide en dos mediante un divisor de haz. Parte de la señal de batido se orienta hacia un fotodetector que muestra en un analizador de espectros y en un contador de frecuencias la frecuencia de batido y la otra parte que se dirige hacia un analizador Fabry-Pérot que muestra la señal en un osciloscopio donde puede observarse si los dos sistemas se encuentran en el modo fundamental de transmisión TEM₀₀.

Los elementos tales como las cámaras o el controlador de los láseres se conectan a un ordenador mediante conexiones USB, RS232 o IEEE, donde se pueden monitorizar los diferentes parámetros de los láseres, las presiones en cada una de las partes del experimento, las temperaturas de los gases y las frecuencias medidas por el analizador de espectros y el contador de frecuencias mediante un software de diseño propio en Python capaz de recoger datos, mostrarlos por pantalla y de almacenarlos.

4. Incertidumbres

Tras un tiempo trabajando con este sistema y habiendo participado en una comparación con otros Institutos Nacionales de Metrología, se han detectado las debilidades de nuestro sistema, así como las mejoras a abordar para poder determinar presiones de gases con una incertidumbre de 2 mPa + 10 ppm (k = 2) en el rango de 2 Pa a 300 kPa.  Esta expresión de incertidumbre agrupa por un lado las componentes de incertidumbre independientes de la presión (2 mPa) y las componentes de incertidumbre lineales con la presión (10 ppm). 

Las componentes de incertidumbre independientes de la presión vienen principalmente de la limitación en la resolución y estabilidad del sistema que derivan de la estabilidad de la frecuencia de los láseres, estabilidad en el bloqueo de los láseres y estabilidad en el batido de los láseres bajo condiciones estáticas. Además, hay que considerar fugas, desgasificaciones y la presión residual en la cavidad de medida y en la cavidad de referencia.

Las componentes de incertidumbre con dependencia lineal con la presión tienen que ver con las incertidumbres en parámetros atómicos y moleculares tales como la polarizabilidad molar, los coeficientes del virial del gas a una cierta temperatura y la longitud de onda.  Además, la cavidad debe ser caracterizada en términos de su rango espectral libre, los saltos de los modos interferométricos que se producen con la presión, la longitud de penetración de los espejos y la fase de Gouy. Otros factores a considerar son la deformación mecánica de la cavidad con la presión y la determinación de la temperatura del gas, así como, efectos termodinámicos y gradientes de temperatura generados en la cavidad debidos al llenado de gas y vaciado de las cavidades.

5. Conclusiones e impacto

En este artículo se ha explicado de manera breve el sistema cuántico del patrón de presión que se está desarrollando aún en el CEM. Se describen los sistemas: óptico, térmico y de presiones, asi como los conceptos básicos relacionados con la deducción de presión de un gas a partir de la determinación de su índice de refracción. Tras un proceso de optimización y mejora del sistema actualmente existente en el CEM, el objetivo es establecer un patrón primario de presión que sustituya al barómetro de mercurio, que elimine la dependencia primaria de los sistemas mecánicos actuales (balanzas de presión), así como cuantificar, en términos de incertidumbre, las limitaciones de dichas balanzas que están muy ampliamente implantadas en la red de laboratorios acreditados y que trasladan la trazabilidad a los equipos medidores de presión existentes en los distintos campos, desde el campo investigador, hasta la industria ya que la presión es una de las magnitudes más ampliamente medidas, principalmente en la industria:

Seguridad: En sistemas cerrados, como calderas o circuitos de gas, la presión debe mantenerse dentro de ciertos límites para evitar fallos catastróficos (explosiones, fugas, etc.). Medir la presión asegura que los sistemas no operen en condiciones peligrosas. En los sistemas de bombeo, en la distribución de agua o combustible, medir la presión ayuda a mantener un flujo constante y sin obstrucciones. Por otro lado, los vehículos utilizan sistemas de frenado y motores basados en sistemas hidráulicos y de presión para frenos, suspensión, y control de la transmisión.

Control de procesos: En industrias como la química, farmacéutica, alimentaria y petroquímica, los procesos requieren condiciones específicas de presión para garantizar la calidad del producto y la eficiencia de la producción. Algunas industrias trabajan con maquinaria hidráulica y/o neumática, cuya presión se debe controlar para un funcionamiento óptimo de dichos equipos. En la industria aeroespacial, las medidas de altitud se basan en medidas de presión, además los aviones también requieren sistemas para controlar la presión dentro de la cabina, especialmente a altitudes elevadas.

Salud humana: Medir la presión arterial es crucial para monitorear la salud cardiovascular. Una presión arterial elevada (hipertensión) puede llevar a enfermedades graves, como ataques al corazón o accidentes cerebrovasculares. Además, los respiradores miden y controlan la presión en las vías respiratorias de pacientes críticos

Eficiencia energética: En sistemas hidráulicos y neumáticos, la medición de la presión ayuda a optimizar el uso de energía y detectar fallos o pérdidas.

Meteorología: La presión atmosférica es un factor clave para predecir cambios repentinos en la meteorología (por ejemplo, la formación de tormentas o anticiclones), muy relacionada con la predicción de los fenómenos meteorológicos extremos.

BIBLIOGRAFÍA

[1]. C. Forssén. Fabry-Pérot based refractometry. Development of a transportable refractometer for assessment of gas pressure. Umea University. 2023.

[2]. P.F. Egan and J.A. Stone. Absolute refractometry of dry gas to ±3 parts in 10⁹. Applied Optics, 50:3076, 2011.

[3]. C. Koks and M.P. van Exter. Microcavity resonance condition, quality factor, and mode volumen are determined by different penetration depths. Optics Express, 29(5):6879-6889, 2021.

[4]. T. Rubin, I. Silander, J. Zakrisson, C. Forssén, M. Zelan, A. Kussicke, Z. Silvestri, J.P. Wallerand, S. Moltó, C. García Izquierdo, J. Setina and O. Axner. Fabry-Pérot-cavity-based refractometry – A guide to its realization and implementation. 2022.

[5]. J. Zakrisson, I.Silander, C. Forssén, M. Zelan, and O. Axner. Procedure for robust assessment of cavity deformation in Fabry-Pérot based refractometers. Journal of Vacuum Science and Technology B, 38:054202, 2020.

[6]. P. Egan, J.Stone, J. Scherschligt, and Allan H. Harvey. Measured relationship between thermodynamic pressure and refractivity for six candidate gases in laser barometry. Journal of Vacuum Science and Technology A, 37(3):031603, 2019.

[7]. A.D. Buckingham and C.Graham. The density dependence of the refractivity of gases. Proceedings of the Royal Society A: Matematical, Physical and Engineering Sciences, 337(1609):275-291, 1974.